درسنامه آموزشی ریاضی فصل ششم کلاس چهارم
درس 3: مساحت متوازی الاضلاع و مثلث
فعالیت (صفحهٔ 130 کتاب درسی)
1- از رأس (آ) به ضلع مقابل آن یعنی پاره خطّ (ب س) عمود رسم کنید. میتوانید از خطوط صفحهی شطرنجی و یا گونیا استفاده کنید.
به پاره خطّی که از یک رأس بر ضلع مقابل آن عمود رسم کردهاید، ارتفاع مثلّث میگویند.
یک مثلّث چند ارتفاع دارد؟ 3 تا چرا؟ چون هر مثلث سه رأس و سه ضلع دارد، و میتوان از هر رأس به ضلع مقابل آن عمود کند.
2- همهی ارتفاعهای مثلّث زیر را رسم کنید.
در صورت نیاز، ضلعها را مانند نمونه با خط چین ادامه دهید.
3- در متوازی الاضلاع زیر، چند ضلع، مقابل رأس (آ) قرار دارد؟ نام آنها را بنویسید. 2 ضلع - (ج س) و (ب ج)
با استفاده از گونیا از رأس (آ) بر ضلعهای مقابل آن عمود رسم کنید.
در صورت نیاز، ضلعها را با خط چین ادامه دهید.
4- یک متوازیالاضلاع چند ارتفاع دارد؟ 8 چرا؟ چون مقابل هر رأس متوازیالاضلاع دو ضلع وجود دارد، پس برای هر رأس دو ارتفاع میتوان رسم کرد، هر متوازیالاضلاع 4 رأس دارد، پس میتوان 8 ارتفاع رسم کرد.
در صورت نیاز، ضلعها را با خط چین ادامه دهید.
5- در هر متوازی الاضلاع از رأس (ن) به دو ضلع مقابلش عمود رسم کنید (یا ارتفاعهای نظیر رأس (ن) را رسم کنید).
در صورت نیاز، ضلعها را با خط چین ادامه دهید.
کار در کلاس (صفحهٔ 131 کتاب درسی)
1- در مثلّث زیر ارتفاع نظیر رأس (م) را رسم کنید.
ارتفاع نظیر رأس (و) کدام ضلع مثلّث است؟ ضلع (و ن)
قاعدهی آن کدام ضلع است؟ ضلع (م ن)
2- در شکلهای زیر، 8 ارتفاع متوازی الاضلاع در دو قسمت 4 تایی رسم شده است. ارتفاعهای مساوی هم رنگ رسم شدهاند.
در هر دسته، قاعدهی مربوط به هر ارتفاع را نیز رنگ کنید.
فعالیت (صفحهٔ 131 کتاب درسی)
1- در صفحهی شطرنجی زیر مشخّص کنید که مساحت هر متوازی الاضلاع چند واحد سطح است.
توضیح دهید که چگونه مربّعهای واحد را میشمرید.
با رسم دو ارتفاع در داخل هر متوازی الاضلاع، آن را به دو مثلث مساوی و یک مستطیل تقسیم بندی میکنیم. سپس با بریدن یکی از مثلثها و قرار دادن آن در کنار مثلث دیگر، متوازیالاضلاع را به یک مستطیل تبدیل میکنیم. با شمردن تعداد مربعهای واحد داخل مستطیل متوازیالاضلاع را بر حسب واحد سطح به دست میآوریم.
2- مساحت مستطیل، طول × عرض است.
با رسم قطر مستطیل دو مثلّث با مساحتهای برابر به دست میآید.
مساحت هر مثلّث را در شکلهای زیر مشخّص کنید.
هر مستطیل از دو مثلث قائم الزاویه درست شده است. بنابراین مساحت هر مثلث قائمالزاویه نصف مساحت مستطیل است.
3- با توجّه به سؤالهای بالا و شکلهای زیر، توضیح دهید که چگونه میتوان مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کرد.
یک متوازی الاضلاع روی مقوّا رسم کنید و دور آن را با قیچی ببرید، فعّالیت زیر را روی مقوّای بریده شده انجام دهید.
آیا در شکل، مساحت مستطیل و مساحت متوازی الاضلاع مساوی هستند؟ توضیح دهید.
در شکل سمت چپ، ارتفاع متوازی الاضلاع را رسم کردیم و یک مثلث قائم الزاویه به وجود آمده که آن را رنگ کردهایم. اگر این مثلث را جدا کنیم و آن را در سمت راست متوازی الاضلاع بچسبانیم، یک مستطیل به وجود میآید. (شکل سمت راست) طول این مستطیل، برابر با قاعدهی متوازی الاضلاع و عرض آن برابر ارتفاع متوازی الاضلاع است. از آنجا که مستطیل سمت راست از متوازی الاضلاع سمت چپ به دست آمده، پس این دو شکل دارای مساحتهای یکسان هستند. چون مساحت مستطیل از ضرب طول در عرض به دست میآید پس:
قاعده × ارتفاع = مساحت متوازی الاضلاع
کار در کلاس (صفحهٔ 132 کتاب درسی)
1- با توجّه به نتیجهی فعّالیت قبل، مساحت متوازی الاضلاعهای زیر را به دست آورید.
قاعده × ارتفاع = مساحت متوازی الاضلاع
$4\times 6=24$
$2\times 5=10$
$6\times 3=18$
2- با رسم ارتفاعهای لازم، متوازی الاضلاع زیر را مانند نمونه به مستطیل تبدیل کنید.
فعالیت (صفحهٔ 132 کتاب درسی)
1- مثلّث زیر را دوبار روی کاغذ بکشید تا دو مثلّث هم اندازه به دست آید. با این دو مثلّث، چه نوع چهارضلعیای میتوانید بسازید؟ متوازی الاضلاع
شکل آنها را رسم کنید. برای نمونه، با این دو مثلّث، چهارضلعی زیر درست شده است. نام این چهارضلعی چیست؟ متوازی الاضلاع
2- با توجّه به سؤال بالا و شکل زیر، توضیح دهید که مساحت مثلّث را چگونه به دست میآورید.
اگر دو مثلث هم اندازه را مانند سوال قبل کنار هم قرار دهیم، میتوانیم یک متوازی الاضلاع بسازیم. در این صورت ارتفاع هر مثلث با ارتفاع متوازی الاضلاع و قاعدهی هر مثلث با قاعدهی متوازی الاضلاع برابر خواهد بود. از طرفی مساحت متوازی الاضلاع برابر است با قاعده × ارتفاع، پس دو برابر مساحت هر مثلث برابر است با قاعده × ارتفاع و در نتیجه مساحت هر مثلث به صورت زیر به دست خواهد آمد:
2 ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلّث
کار در کلاس (صفحهٔ 133 کتاب درسی)
1- مساحت مثلّثهای داده شده را پیدا کنید.
$(3\times 5)\div 2=\frac{15}{2}$
$(2\times 3)\div 2=3$
$(2\times 4)\div 2=4$
2- دو مثلّث به اندازههای مثلّث زیر روی کاغذ بکشید و دور آنها را ببرید. با این دو مثلّث مساوی، چند حالت چهارضلعی درست کنید و شکل چهارضلعیها را رسم کنید.
نام هر چهارضلعی را کنار آن بنویسید.
مستطیل
لوزی
متوازیالاضلاع
تمرین (صفحهٔ 133 کتاب درسی)
1- در مثلّث زیر اگر (آ ب) ارتفاع باشد، قاعدهی نظیر آن کدام است؟ (س ب)
مساحت مثلّث را از این طریق حساب کنید.
$(2\times 3)\div 2=3$ مساحت مثلث
اگر ارتفاع مثلّث (س ب) باشد، قاعدهی نظیر آن کدام است؟ (آ ب)
$(2\times 3)\div 2=3$ مساحت مثلث
مساحت مثلّث را از این طریق محاسبه کنید. آیا پاسخها با هم متفاوتاند؟ خیر
2- مساحت شکلهای زیر را از دو طریق حساب کنید.
$(48\times 50)\div 2=1200$
$(30\times 80)\div 2=1200$
$(56\times 100)=5600$
$(80\times 70)=5600$
$(24\times 50)\div 2=600$
$(40\times 30)\div 2=600$
3- در شکل زیر، 6 مثلّث میبینید که قاعدهی همهی آنها پاره خطّ (ب س) است و رأسهای آنها با حروف نامگذاری شده است. به کمک صفحهی شطرنجی، ارتفاع هر 6 مثلّث را رسم کنید و توضیح دهید که چرا مساحت این 6 مثلّث با هم برابر است.
در شکل مقابل، رأسهای بالایی هر 6 مثلث روی یک خط راست قرار دارند که با پاره خط (ب س) موازی است. چون فاصلهی دو خط موازی در تمام نقاط به یک اندازه است، در تمامی مثلثهای به وجود آمده، ارتفاع برابر است با فاصلهی بین این دو خط، هم چنین قاعدهی همهی مثلثها نیز یکسان و برابر پاره خط (ب س) است. بنابراین مساحت همهی این مثلثها با هم مساوی است.
